УДК 539.3:534:532.5
Эволюционное уравнение продольных уединенных волн
в вязкоупругой бесконечной пластине и его точное решение
Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук, доцент
Кубанский государственный аграрный университет
Выводятся уравнения движения геометрически нелинейной
вязкоупругой пластины, используются неклассические кинематические
уравнения. Рассмотрен общий случай, когда вязкоупругие свойства
проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Полученные уравнения
методом возмущений сводятся к эволюционному уравнению Кортевега
де Вриза – Бюргерса – Петвиашвили, для которого определяется точное
решение, описывающие продольные двумерные уединенные волны. Указываются
условия, при которых формируются ударно-волновые структуры деформации
пластины.
Уединенные нелинейные волны в нелинейных упругих пластинах исследуются
в работе [1]. В работе [2] изучаются дисперсионные нелинейные волны
в вязкоупругих пластинах при упругих объемных деформациях. В данной
статье предлагается обобщение результатов, полученных в [2], когда
вязкоупругие свойства пластины проявляются при объемных и сдвиговых
деформациях.
Для исследования распространения нелинейных дисперсионных волн
в бесконечной вязкоупругой пластине толщиной 2h, изготовленной
из материала наследственного типа и свободной от внешних воздействий,
построим математическую модель волнового процесса.
С помощью кинематических соотношений определим компоненты вектора
перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях
и невысоких частотах [2]
v;
, (1)
где и v
- функции, определяющие поле перемещений в срединной плоскости пластины
соответственно по осям и ,
- перемещения по оси z, - время.
Конечные деформации пластины зададим соотношениями тензора Грина
(2)
предполагая, что ,
.
Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания
наследственных реологических свойств пластины [3]
, (3)
где - соответственно компоненты девиаторов напряжений и
деформаций;
− среднее напряжение,
- объемное расширение, − модуль объемной деформации,
- параметр
Ламе; - константы, определяющие реологические
свойства стержня; Е - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона.
С помощью формулы (1) определим компоненты деформаций по формулам
(2) и их вариации . Из закона состояния (3) найдем компоненты
тензора напряжений .
Далее, руководствуясь вариационным принципом
,
где - плотность материала пластины, - вариации деформаций, - вариации перемещений, точкой обозначена производная
по времени,
получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:
= .
= vxvy)]
+ vy)
.
= (4)
+ +
,
где введены следующие обозначения:
, (5)
, (6)
- поправочный коэффициент.
Для наследственных материалов с быстро затухающей памятью, когда
, систему уравнений (4) можно упростить. Заменим в выражениях
(5) и (6) интегральные операторы дифференциальными, разлагая функции
, в ряды Тейлора по степеням () и сохраняя в полученных разложениях два слагаемых.
В итоге получим аппроксимации
, , (7)
где введены операторы
, ,
действующие на функцию по правилу
, .
Введем ряд обозначений: А – амплитуда колебаний, l
– длина волны и
– малый параметр, позволяющий исследовать длинные волны малой амплитуды.
Заменим в системе (4) и их приближениями (7) и перейдем к безразмерным переменным:
, v = v*, , , ,
. (8)
Исследуем безразмерные уравнения движения пластины с помощью асимптотического
метода. Неизвестные функции запишем в виде асимптотических разложений,
опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:
, v = (v1 + v2
+…), . (9)
Если величины , , – одного порядка малости, то разложения (9) можно подставить
в безразмерные уравнения движения пластины.
Обозначенные отношения порядков позволяют для первых членов разложений
составить следующую систему уравнений:
(10)
= 0, (11)
из которой следует, что
, (12)
где , .
Скорость волны найдем исходя из уравнения (10) и с учетом формулы
(12):
. (13)
Далее для вторых членов разложений (9) составим систему трех уравнений:
v +
(14)
v = v+ .
(15)
v)+
. (16)
В ходе интегрирования уравнения (15) по переменной и с учетом формулы (12) получим равенство:
v=
.
Принимая во внимание последнее равенство и формулу (12), продифференцируем
уравнение (16) по и приведем его к виду:
. (17)
Приравнивая сумму последних трех слагаемых в уравнении (14) к левой
части уравнения (17), умноженной на ,
с учетом выражения (13) можно записать следующее:
v++
.
В ходе тождественных преобразований последнего уравнения, используя
обозначение , получим эволюционное уравнение Кадомцева
– Петвиашвили – Бюргерса
, (18)
,
.
Найдем точное решение уравнения (18) из сингулярного многообразия
вида:
, (19)
где – неизвестные функции независимых переменных.
В результате подстановки выражения (19) в уравнение Кадомцева –
Петвиашвили – Бюргерса можно записать равенство:
, (20)
где удовлетворяет условию (20) и вычисляется следующим образом:
. (21)
Подставив функцию в равенство (20), приходим к точному
решению уравнения КПБ:
, (22)
где – произвольный параметр, ,
или
,
где
. (23)
Волну растяжения, соответствующую неравенству, получим, если в формуле (23) оставим знак «+». При
этом и точное
решение уравнения Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса описывает ударно-волновую
структуру.
Возвращаясь к размерным переменным, запишем функцию
,
согласно которой найдем поправку к скорости распространения волны:
.
Список литературы
1. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах.
Горький: Изд-во Горьк. гос. ун-та, 1985.
2. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи
вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им. Н.И. Вавилова, 2002. 146
с.
3. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука,
1972.
|