Регистрационный номер НТЦ «Информрегистр» 0420900012
Свидетельство о регистрации СМИ Эл № ФС77-32022,
выдано 20 мая 2008 года Федеральной службой по надзору в сфере
массовых коммуникаций, связи и охраны культурного наследия
ISSN 1990-4665
12+
  English
 Журнал
Главная
Свежий номер
Архив номеров
Разделы по отраслям науки
Разделы по специальностям
О журнале
Этика научных публикаций
Статистика
География

 Авторам
Порядок рецензирования
Требования к содержанию
Порядок публикации
Образцы документов
Оформление статей
Оформление ссылок
Статус публикаций
Авторские права
Наши авторы

 Редакция
Редакционный совет
Редколлегия
Объявления
Ссылки
Контакты

 Документы
Оформление и публикация (в одном файле)





Кто здесь?


CC BY  «Attribution» («Атрибуция»)
 Версия для печати
 Файл в формате pdf


УДК 622.011.43

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО МАССИВА, СОДЕРЖАЩЕГО ОСЕСИММЕТРИЧНУЮ ПОЛОСТЬ

Аршинов Г. А. – к. ф.-м. н.

Кубанский государственный аграрный университет

Рассматривается конечно-элементная модель расчета напряженно-деформированного состояния упругого полупространства, содержащего осесимметричную полость.

Модель строится из следующих соображений. Допустим, что в упругом однородном изотропном полупространстве образована осесимметричная (с вертикальной осью симметрии) полость с центром на глубине Н и максимальным характерным размером а. Предполагая, что а/Н<<1, и учитывая малость влияния полости на напряженное состояние окружающего ее массива вне шара (центры полости и шара совпадают) радиуса 4а, заменим весомое полупространство, содержащее емкость, невесомым круглым цилиндром с полостью, по верхнему торцу и боковой поверхности которого равномерно распределены сжимающие усилия  ( – объемный вес массива) и , а нижний торец опирается на жесткое основание. Выделенную область массива с полостью аппроксимируем совокупностью кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения и в силу осесимметричности рассмотрим лишь половину меридионального сечения полученной аппроксимации (рис. 1в). При наличии у полости экваториальной плоскости симметрии достаточно рассмотреть четверть указанного сечения (рис. 1а).

Предположим, что конечно-элементная идеализация содержит Е треугольников и G узлов, будем нумеровать узлы (вершины) треугольников 1, 2, 3 против часовой стрелки.

Рисунок 1 – Конечно-элементная аппроксимация выделенной области с полостью

Для удобства дальнейшего изложения воспользуемся матричной символикой [1]. Функцию перемещений  аппроксимируем следующим образом:

,

(1)

где u, – вектора-столбцы, компоненты которых суть проекции вектора смещений и его аппроксимации на оси координат , Oz;  – вектор узловых смещений е-го треугольника.

Коэффициенты  определяются через координаты узлов элемента:

.

(2)

Циклической перестановкой индексов в порядке 1, 2, 3 в (2) получаются остальные коэффициенты. Используя (1) и формулы Коши, представим вектор деформаций элемента в виде

(3)

где , i=1, 2, 3,

а  – вектор узловых перемещений е-го элемента.

По закону Гука

,

(4)

где , а – параметры Ламе.

Решение смешанной краевой задачи в случае ее осесимметричности минимизирует функционал энергии:

,

(5)

где f, p – вектора массовых и поверхностных сил, V – область, в которой ищется решение, S – граница V. Принимая во внимание (3) и (4), получим аппроксимацию функционала (5):

,

(6)

где матрица  называется матрицей жесткости е-го конечного элемента, а матрица

.

Введем матрицы  размером , компоненты которых либо нуль, либо единичные. Для любого m-го узла е-го элемента, совпадающего с i-м узлом в глобальной нумерации узлов конечно-элементной сетки, компоненты  и  равны 1. После перебора всех элементов и присвоения компонентам  единицы согласно указанному правилу, оставшиеся компоненты приравниваются к нулю. Если

– вектор смещений узлов согласно глобальной нумерации, то

.

(7)

Учитывая (7), запишем (6) в виде

или

.

(8)

Функционал (8) принимает минимальное значение, если ; I =1,2,…,.

Эти условия сводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно вектора глобальных узловых перемещений

,

(9)

матрица коэффициентов которой К называется матрицей жесткости системы конечных элементов. Решение  позволяет установить деформации и напряжения по формулам (3), (4).

Иногда в элементах полезно задавать начальные деформации или напряжения, тогда видоизменяется связь (4), которая в этих случаях соответственно имеет вид:

,

(10)

где  и  – начальные деформации и напряжения, а к правой части (9) добавится слагаемое Q, соответственно равное

,

(11)

или

.

(12)

После решения системы  напряжение вычисляются согласно (10).

Список литературы

 1. Зенкевич, О. С. Метод конечных элементов в технике / О. С. Зенкевич. – М. : Мир, 1975.


 
© Кубанский государственный аграрный университет, 2003-2021
Разработка и поддержка сайта: ЦИТ КубГАУ

Регистрационный номер НТЦ «Информрегистр» 0420900012
Свидетельство о регистрации СМИ Эл № ФС77-32022
ISSN 1990-4665