Научный электронный журнал КубГАУ . № 03(5), 2004 УДК 622.011.43 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ И ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук Кубанский государственный аграрный университет
Математическая модель продольных колебаний построена на основе вывода и анализа эволюционных уравнений для линейно-вязкоупругого стержня. Бесконечный стержень, свободный от внешних объемных и поверхностных
воздействий, отнесен к системе координат. Ось x расположена
вдоль оси стержня, а оси y и Перемещения точек стержня аппроксимируются с помощью функций
где Буквенные индексы переменных функции (1) определяют частную производную от функции по указанной переменной, т. е.
Конечные деформации стержня задаются тензором Грина
а физико-механические свойства – уравнениями линейной вязкоупругости:
где При условии
где введен оператор L, определяемый равенством В развернутом виде:
где
Уравнения движения стержня выводятся из принципа виртуальных работ:
где точкой обозначена производная по t, r - плотность материала
стержня, С учетом (1), (2), (4) определяется вариация внутренней энергии стержня + Уравнение движения стержня получается из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии и преобразуется к безразмерным переменным где Допустим, что В результате сохранения членами порядка не выше Для анализа уравнения (6) применяется метод возмущений. Функция
После подстановки (7) в уравнение (6) и с учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении запишем: Согласно условию
Из формулы (8) при Для разрешимости уравнения относительно неизвестной
функции
где
Точное решение уравнения (9) можно представить:
где
При Если в уравнениях выбран верхний знак “+”, то с учетом где Из условия где При Производная Критические точки функции определяются уравнением
и функция Тогда максимальное значение функции ![]() Зависимость деформаций от перемещений Зависимость деформации от перемещения качественно представлена на рисунке, где введены обoзначения: При переходе к размерным переменным вычисляется поправка к скорости
распространения волны, равная |
Научный электронный журнал КубГАУ . № 03(5), 2004 |