Научный электронный журнал КубГАУ . № 02(2), 2003 УДК 539.3:534:532.5
Эволюционное уравнение продольных уединенных волн в вязкоупругой бесконечной пластине и его точное решение
Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук, доцент Кубанский государственный аграрный университет
Выводятся уравнения движения геометрически нелинейной вязкоупругой пластины, используются неклассические кинематические уравнения. Рассмотрен общий случай, когда вязкоупругие свойства проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Полученные уравнения методом возмущений сводятся к эволюционному уравнению Кортевега де Вриза – Бюргерса – Петвиашвили, для которого определяется точное решение, описывающие продольные двумерные уединенные волны. Указываются условия, при которых формируются ударно-волновые структуры деформации пластины.
Уединенные нелинейные волны в нелинейных упругих пластинах исследуются в работе [1]. В работе [2] изучаются дисперсионные нелинейные волны в вязкоупругих пластинах при упругих объемных деформациях. В данной статье предлагается обобщение результатов, полученных в [2], когда вязкоупругие свойства пластины проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Для исследования распространения нелинейных дисперсионных волн в бесконечной вязкоупругой пластине толщиной 2h, изготовленной из материала наследственного типа и свободной от внешних воздействий, построим математическую модель волнового процесса. С помощью кинематических соотношений определим компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах [2] v; , (1) где и v - функции, определяющие поле перемещений в срединной плоскости пластины соответственно по осям и , - перемещения по оси z, - время. Конечные деформации пластины зададим соотношениями тензора Грина (2) предполагая, что , . Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания наследственных реологических свойств пластины [3] , (3) где - соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; − среднее напряжение, - объемное расширение, − модуль объемной деформации, - параметр Ламе; - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона. С помощью формулы (1) определим компоненты деформаций по формулам (2) и их вариации . Из закона состояния (3) найдем компоненты тензора напряжений . Далее, руководствуясь вариационным принципом , где - плотность материала пластины, - вариации деформаций, - вариации перемещений, точкой обозначена производная по времени, получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины: = . = vxvy)] + vy) . = (4) + + , где введены следующие обозначения: , (5) , (6) - поправочный коэффициент. Для наследственных материалов с быстро затухающей памятью, когда , систему уравнений (4) можно упростить. Заменим в выражениях (5) и (6) интегральные операторы дифференциальными, разлагая функции , в ряды Тейлора по степеням () и сохраняя в полученных разложениях два слагаемых. В итоге получим аппроксимации , , (7) где введены операторы , , действующие на функцию по правилу , . Введем ряд обозначений: А – амплитуда колебаний, l – длина волны и – малый параметр, позволяющий исследовать длинные волны малой амплитуды. Заменим в системе (4) и их приближениями (7) и перейдем к безразмерным переменным: , v = v*, , , , . (8) Исследуем безразмерные уравнения движения пластины с помощью асимптотического метода. Неизвестные функции запишем в виде асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных: , v = (v1 + v2 +…), . (9) Если величины , , – одного порядка малости, то разложения (9) можно подставить в безразмерные уравнения движения пластины. Обозначенные отношения порядков позволяют для первых членов разложений составить следующую систему уравнений: (10) = 0, (11) из которой следует, что , (12) где , . Скорость волны найдем исходя из уравнения (10) и с учетом формулы (12): . (13) Далее для вторых членов разложений (9) составим систему трех уравнений: v +
v = v+ . (15) v)+
. (16) В ходе интегрирования уравнения (15) по переменной и с учетом формулы (12) получим равенство: v= . Принимая во внимание последнее равенство и формулу (12), продифференцируем уравнение (16) по и приведем его к виду:
. (17) Приравнивая сумму последних трех слагаемых в уравнении (14) к левой части уравнения (17), умноженной на , с учетом выражения (13) можно записать следующее: v++
. В ходе тождественных преобразований последнего уравнения, используя обозначение , получим эволюционное уравнение Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса , (18) , . Найдем точное решение уравнения (18) из сингулярного многообразия вида: , (19) где – неизвестные функции независимых переменных. В результате подстановки выражения (19) в уравнение Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса можно записать равенство: , (20) где удовлетворяет условию (20) и вычисляется следующим образом: . (21) Подставив функцию в равенство (20), приходим к точному решению уравнения КПБ: , (22) где – произвольный параметр, ,
или , где . (23) Волну растяжения, соответствующую неравенству, получим, если в формуле (23) оставим знак «+». При этом и точное решение уравнения Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса описывает ударно-волновую структуру. Возвращаясь к размерным переменным, запишем функцию , согласно которой найдем поправку к скорости распространения волны: . Список литературы 1. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. Горький: Изд-во Горьк. гос. ун-та, 1985. 2. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им. Н.И. Вавилова, 2002. 146 с. 3. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. |
Научный электронный журнал КубГАУ . № 02(2), 2003 |