Научный электронный журнал КубГАУ . № 01(1), 2003 Уединенные волны в физически линейных и нелинейных вязкоупругих стержнях Аршинов Г.А. Елисеев Н.И. Кубанский государственный аграрный университет Метод возмущений применяется для исследования дисперсионных волн в геометрически нелинейных стержнях из линейно- и нелинейно-вязкоупругого материала. Выведены эволюционное уравнение Кортевега де Вриза – Бюргерса для линейно-вязкоупугого и модифицированное уравнение для нелинейно-вязкоупугого стержня.
Построим одномерную модель колебаний, учитывающую в определенной степени инерцию поперечных движений стержня. Отнесем бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий, к системе координат, направив ось вдоль оси стержня, а оси y и расположим в одном из поперечных сечений. Аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1]
,,, (1) где – соответственно перемещения по осям x, y, z, – время, - коэффициент Пуассона. Буквенные индексы, которые содержат функции (1), определяют частную производную от функции по указанной переменной, т.е. , и т.д.
Конечные деформации стержня зададим соотношениями: (2) где индекс после запятой определяет частную производную от функции по соответствующей переменной, т.е. , предполагается, что , Для описания реологических свойств стержня воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости [2]
, (3)
где - соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций; - объемное расширение, - символы Кронекера; - параметры Ламе; - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона. Для упрощения исследования заменим интегральный оператор в (3) дифференциальным, разлагая функцию в ряд Тейлора по степеням (). Ограничиваясь двумя слагаемыми, что возможно для >>1, получаем
, (4) где оператор и действует на функцию по правилу . Формулы (4) можно представить в развернутом виде
или
,
где
, ,
, , .
Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа , (5) где точкой обозначена производная по t, r - плотность материала стержня, - вариации деформаций, - вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня. Вычислим вариации деформаций.
или в операторной форме
. Используя формулы (4) и вариации компонент деформации, определим вариацию внутренней энергии:
+
+
+
или
+.
Подставляя значение вариации внутренней энергии в выражение (5), получим уравнение движения стержня:
.
После преобразования имеем:
+
.
Перейдем в последнем уравнении к безразмерным переменным , , , , , где – амплитудный параметр возмущения, , d – соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны, - характеристика нелинейности волнового процесса и допустим, что – малый параметр, т.е. характерная длина волны значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечные размер стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков , .
Пренебрегая членами порядка выше, чем , получаем уравнение движения стержня:
(6)
Представим функцию в виде асимптотического разложения . (7) Учитывая введенные соотношения порядков и асимптотическое разло- жение (7), из уравнения (6) в нулевом приближении получим . Так как , то из последнего уравнения следует, что скорость распространения волны
(8) Из первого приближения получаем условие разрешимости уравнения для , которое дает известное уравнение Кортевега де Вриза – Бюргерса:
, (9)
где , , .
Как и в линейном случае, рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий в системе координат с осью , направленной вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, и осями , , расположенными в одном из них. Аппроксимируем перемещения точек стержня функциями (1), а конечные деформации стержня определим формулами (2). Для описания реологических свойств стержня в отличие от предыдущего случая воспользуемся уравнениями квадратичной теории вязкоупругости [2]
,(10)
где , - параметры Ламе, - объемное расширение, - символы Кронекера - компоненты девиатора деформаций, -физические константы материала, - интенсивность деформаций. Для упрощения исследования заменим интегральный оператор в уравнениях (10) дифференциальным, разлагая функцию
в ряд Тейлора по степеням . Ограничиваясь двумя слагаемыми ряда, что возможно для , получаем
где введены операторы , , действующие на функцию по правилу , . Вычислим компоненты девиатора деформаций:
, где или
. Из вариационного принципа (5) получаем уравнение движения стержня, в котором перейдем к безразмерным переменным , , , , , где – амплитудный параметр возмущения, , d – соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны, - характеристика нелинейности волнового процесса. Допустим, что – малый параметр, т.е. характерная длина волны значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечные размер стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков , , , где - характерный размер поперечного сечения. Опуская звездочки в выражениях для соответствующих безразмерных переменных, получим уравнение движения
+ (11) +, где . Представим функцию асимптотическим разложением . Подставляя это разложение в уравнение движения (11) и учитывая введенные отношения порядков, в нулевом приближении приходим к уравнению , где - модуль упругости. Так как то из полученного уравнения скорость распространения возмущения Первое приближение дает модифицированное уравнение Кортевега де Вриза – Бюргерса
(12) где ,, , . Список литературы1.Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ, 2002. 152 с. |
Научный электронный журнал КубГАУ . № 01(1), 2003 |