Нелинейная динамика физически линейной и нелинейной вязкоупругой пластины

Научный электронный журнал КубГАУ . № 01(1), 2003

Аршинов Г.А.

Кубанский государственный аграрный университет

Метод возмущений применяется для исследования дисперсионных волн в геометрически нелинейной пластине из линейно- и нелинейно-вязкоупругого материала. Выведены эволюционное уравнения Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса для физически линейной и модифицированное уравнение для физически нелинейной пластины.

Рассматривается бесконечная пластина толщиной 2h, свободная от внешних воздействий. Компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах зададим соотношениями [1]:

v; , (1)

в которых и v - функции, определяющие поле перемещений в срединной плоскости по осям и соответственно; - перемещения по оси ; - время.

Используя кинематические соотношения (1) и формулы Лагранжа для конечных деформаций

(2)

вычислим компоненты тензора деформаций.

Реологические свойства пластины зададим уравнениями линейной теории вязкоупругости, содержащими экспоненциальное ядро вида[2].

, (3)

где - соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций; - объемное расширение; - символы Кронекера; - реологические параметры;

- упругие постоянные Ламе.

Уравнения движения пластины получим, применяя вариационный принцип

, (4)

где - плотность материала пластины; - вариации деформаций; - вариации перемещений; точкой обозначена производная по времени.

В результате вычисления компонент деформаций (2) на основе функций (1), вариаций затем компонент тензора напряжений из закона состояния (3) и подстановки найденных величин в уравнение (4), из последнего в силу произвольности вариаций после интегрирования по переменной z получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:

v = v_xv_y)] + v_y)

= (5)

+ +

где введены следующие обозначения:

(6)

, (7)

- поправочный коэффициент, а К – модуль объемного расширения.

Буквенные индексы в системе (5), как и ранее, определяют производную по соответствующей переменной.

Заменим интегральные операторы в формулах (6) и (7) дифференциальными, разлагая функции , в ряды Тейлора по степеням (), сохраняя в полученных разложениях два слагаемых, что допустимо для .

В результате получим аппроксимации:

, , (8)

где введены операторы

, ,

действующие на функцию по правилу

, .

Обозначим через А амплитуду колебаний, а через l - длину волны и рассмотрим длинные волны малой амплитуды, вводя таким образом малый параметр . Заменим в системе (5) и их приближениями (8) и исследуем полученные уравнения асимптотическим методом. Для этого перейдем в полученных уравнениях к безразмерным переменным

, v = v^*,

, , . (9)

Представим неизвестные функции асимптотическими разложениями, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:

v = (v₁ + v₂ +…) (10)

Допустим, что величины , , - одного порядка малости и подставим разложения (10) в безразмерные уравнения пластины. Учитывая введенные отношения порядков, для первых членов разложения получим систему уравнений:

, (11)

= 0. (12)

Из уравнения (12) следует, что

(13)

где , .

Из уравнения (4.11) в силу формулы (4.13) определим скорость волны

(14)

Для вторых членов разложений (10 )получим систему трех уравнений

v +

, (15)

v = v+ , (16)

v) +

(17)

После интегрирования уравнения (16) по переменной и применения формулы (13), приходим к равенству v= .В силу последнего равенства и формулы (13) уравнение (17) после его дифференцирования по приведем к виду:

+ (18)

Учитывая формулу (14), легко установить, что последние три слагаемых в уравнении (15) равны левой части уравнения (18), умноженной на величину .

Приравнивая соответствующие слагаемые, получаем

v++ (19)

Выполняя тождественные преобразования в уравнении (19) и вводя обозначение , приходим к уравнению Кадомцева – Петвиашвили – Бюргерса

, (20)

где введены обозначения

Перейдем к рассмотрению физически нелинейной вязкоупругой пластины. Как и в линейном случае, рассмотрим неограниченную пластину толщиной , свободную от внешних воздействий, а перемещения точек пластины аппроксимируем функциями

v; (21)

Используя (21) и тензор деформаций Лагранжа

, (22)

вычислим компоненты тензора конечных деформаций.

Реологические свойства пластины зададим уравнениями квадратичной теории вязкоупругости, содержащими экспоненциальное ядро [2].

,(23)

где - соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций, - объемное расширение, - компоненты девиатора деформаций, - символы Кронекера, - реологические параметры, - упругие постоянные Ламе, - квадрат интенсивности деформаций.

В результате вычисления компонент деформаций (22) на основе функций (21), вариаций затем компонент тензора напряжений из закона состояния (23) и подстановки найденных величин в уравнение (4), из последнего в силу произвольности вариаций после интегрирования по переменной z получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:

v = v_xv_y)] + v_y)

= (24)

+ +

где введены следующие обозначения:

(25)

, (26)

а - поправочный коэффициент.

Упростим дальнейшее исследование системы (24), заменяя интегральные операторы в формулах (25) и (26) дифференциальными путем разложения функций , , в ряды Тейлора по степеням (), сохраняя в полученных разложениях два слагаемых, что возможно для .

В результате получим приближения

, , (27)

где введены операторы

, ,

действующие на функцию по правилу

Для исследования уравнений движения (24) применим асимптотический метод. Обозначим через амплитуду колебаний, а через - длину волны и рассмотрим длинные волны малой амплитуды, вводя таким образом малый параметр . Заменим в системе (24) и их приближениями (27) и перейдем в полученных уравнениях к безразмерным переменным

, v = v^*,

, , . (28)

Представим искомые функции в виде следующих асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:

v = (v₁ + v₂ +…) (29)

Допустим, что величины , , - одного порядка малости, а реологическая постоянная - порядка .

Подставляя разложение (29) в безразмерные уравнения пластины и учитывая введенные отношения порядков, для первых членов разложения получаем

, (30)

= 0, (31)

Из уравнения (31) следует, что

(32)

где , .

Из уравнения (30) в силу равенства (32) определяем скорость

(33)

Для следующих членов разложений (29) получим систему трех уравнений

v +

(34)

v = v+ (35)

v) +

(36)

После интегрирования уравнения (35) по переменной и применения формулы (32), приходим к равенству v= .В силу этого равенства и формулы (32) уравнение (36) после его дифференцирования по приведем к виду