Научный электронный журнал КубГАУ . № 01(1), 2003 Нелинейная динамика физически линейной и нелинейной вязкоупругой пластины Аршинов Г.А. Кубанский государственный аграрный университет
Рассматривается бесконечная пластина толщиной 2h, свободная от внешних воздействий. Компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах зададим соотношениями [1]:
в которых Используя кинематические соотношения (1) и формулы Лагранжа для конечных деформаций
вычислим компоненты тензора деформаций. Реологические свойства пластины зададим уравнениями линейной теории вязкоупругости, содержащими экспоненциальное ядро вида[2].
где
Уравнения движения пластины получим, применяя вариационный принцип
где В результате вычисления компонент деформаций (2) на основе функций
(1), вариаций
+
где введены следующие обозначения:
Буквенные индексы в системе (5), как и ранее, определяют производную по соответствующей переменной. Заменим интегральные операторы в формулах (6) и (7) дифференциальными,
разлагая функции В результате получим аппроксимации:
где введены операторы
действующие на функцию
Обозначим через А амплитуду колебаний, а через l - длину волны
и рассмотрим длинные волны малой амплитуды, вводя таким образом
малый параметр
Представим неизвестные функции асимптотическими разложениями, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных: v = Допустим, что величины Из уравнения (12) следует, что
где Из уравнения (4.11) в силу формулы (4.13) определим скорость волны Для вторых членов разложений (10 )получим систему трех уравнений
После интегрирования уравнения (16) по переменной
Приравнивая соответствующие слагаемые, получаем
Выполняя тождественные преобразования в уравнении (19) и вводя
обозначение
где введены обозначения Перейдем к рассмотрению физически нелинейной вязкоупругой пластины.
Как и в линейном случае, рассмотрим неограниченную пластину толщиной
Используя (21) и тензор деформаций Лагранжа вычислим компоненты тензора конечных деформаций. Реологические свойства пластины зададим уравнениями квадратичной теории вязкоупругости, содержащими экспоненциальное ядро [2].
В результате вычисления компонент деформаций (22) на основе функций
(21), вариаций
+
где введены следующие обозначения:
а Упростим дальнейшее исследование системы (24), заменяя интегральные
операторы в формулах (25) и (26) дифференциальными путем разложения
функций В результате получим приближения
где введены операторы действующие на функцию
Для исследования уравнений движения (24) применим асимптотический
метод. Обозначим через
Представим искомые функции в виде следующих асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных: v = Допустим, что величины Подставляя разложение (29) в безразмерные уравнения пластины и учитывая введенные отношения порядков, для первых членов разложения получаем Из уравнения (31) следует, что
где Из уравнения (30) в силу равенства (32) определяем скорость Для следующих членов разложений (29) получим систему трех уравнений
После интегрирования уравнения (35) по переменной
Учитывая формулу (33), легко видеть, что последние три слагаемых
в уравнении (35) равны левой части уравнения (37), умноженной на
величину Приравнивая соответствующие слагаемые, получаем Выполняя преобразования в уравнении (38) и вводя обозначение
где введены обозначения Список литературы
1. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ, 2002. 152 с. 2. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М., 1972.
|
Научный электронный журнал КубГАУ . № 01(1), 2003 |